物事の大きな仕組みについてのかなり突拍子もない見方と思われるようなこと に対してプラトンが提出している証拠を吟味するよい方法は第7巻で哲学者を 教育するためにソクラテスが大まかに語っているプログラムを追ってみること である（518b-535a）。この課程は補助者たちが受けるものを遥かに超えてい る。可能的な哲学者（覚えておくべきだが，われわれは自分がそのような者だと 想定している）でさえその生を，われわれが座っている椅子は少なくとも椅子の イデアや正義のイデアと同じくらい実在的であると考えるような誤った信念か ら始める。教育の課題は可能的な哲学者のそのようなありふれた誤まった考え を正すことである。われわれはそのような誤った信念からどのように教育され るべきだとソクラテスが言っているかを見れば，プラトンが自分の見方のため に整理している証拠を見ることになる。
ソクラテスは感覚を通じて得られる知識には奇妙なところがあることに可能的な哲学 者としてのわれわれの注意を向けることから始める。私が人指し指は短いか長 いかと訊かれているとしよう。答えようとしたときに当惑が生ずる。短いとか 長いとかで君は何を言おうとしているのか。私の人指し指は中指よりも短いが， 親指よりも長い。とても現実的であると考えているこの触れられるものはむし ろ曖昧な身分しか持っていないようだ。それは短くもあり，長くもある。それ についてのわたしの知識は考えていたほど確実なものではないことが判明した。 20世紀の今日，われわれはくすくす笑い，もちろん私の指の長さは計る尺度に 相対的である──すべては相対的である，と勝ち誇って言いそうである。しか しプラトンはそれがまさに自分の言いたいことだと答えるだろう。われわれが 感覚を通じて知る物事は実際相対的である。それらのついてのわれわれの知識 は従って曖昧であり，少しも絶対的なものではない。
しかし教育は学生の水準から始めなければならない。そしてソクラテスが別の 種類の存在と知識にわれわれの注意を向けるために使うことのできることが人 指し指についてはある。われわれが短さや長さについて語るときには，長さ， 究極的には数，あるいは純粋の量について語っているのであり，これらのこと は人指し指の視覚だけでは生じないような仕方で魂を活動させるのだとソクラ テスは言う。ソクラテスは数論が量そのものについての学問であると言い，哲 学者の教育は実際この学問の研究から始まると論ずる（522c-526c）。
数論にはそれ自身の諸特性がないのではない。われわれは最初におはじきや硬 貨のようなもので遊びながら数えること，加えること，引くこと，掛けること， 割ることを学ぶ。しかしすぐに数そのものの学習に進む。われわれは単に四つ のおはじきや四枚の硬貨，あるいは四人の人間ではなく，「四」そのものにつ いて学び始める。たとえばわれわれは四は二によって等分されるという 事実が，われわれが四つのおはじきや四枚の硬貨や四人の人間について語って いるかどうかという問題とは全く独立であるということを学ぶ。われわれはま た，四はつねに二によって等分されるということを四つのおはじき や四脚の椅子や四人の人間の集団を分割することによってではなく，ただ四で あることそのものの特性を学習することによってのみ証明できるということを われわれは学ぶ。われわれは，四がつねに二によって等分されるということを四つのもの の特定の集団を見ることによって絶対的な仕方で証明することはできないだろ う。なぜなら，われわれは四つの現実のもののすべての集団を調べてしまった という確信は決して持てないからである。われわれが絶対的な証明を達成でき るのはただ，四のイデア，われわれが見ることも触れることもできないものを 調べることによってのみ可能である。われわれは「魂の目」によってのみ四そ のものとその割り切れる特性を「見る」ことができる。おはじきや他の触れる ことのできるものの集団を数えたり割ったりすることは数論の学習を始める助 けではあるけれども，数論そのものはそのような助けなしで進められる。
われわれは数論から平面幾何学に進み，それから立体幾何学へ，最後に天文学・ 音階学へと進むべきであるとソクラテスは言う。これらの学問も，数論と同様， 感覚を通じてではなく，魂を通じてのみ知ることのできる対象を学習するとい う意味でイデア的である。
ユークリッドの平面幾何学を考えてみたまえ。小学校で初めてユークリッドの 幾何学に出会ったときのことを思い出したまえ。さまざまの大きさの正三角形 の角に分度器をあてがって，三角形の大きさに関わらず各々の角は60度である ことを発見したこともあるだろう。さて中学校での次の幾何学との取り組みを 思い出したまえ。また分度器や物差しやコンパスで遊んだかも知れないが，す ぐにそれらは船外へ放り出して別の取り組みへと乗り出しただろう。たとえば どんな正三角形でもその大きさに関わらず角はすべて60度であるということを 証明することを君は学んだ。どんな三角形でもその三つの角の和は180度であ るということ，また二つの平面が交わるところにはつねに線が生ずることを学 んだ。そして以上のことと他の多くの原理を分度器や物差しの助けを借りない で証明することを学んだ。そうせずに，いくつかの基本的な定義と極めて一般 的な公理から出発して，他のもっと複雑な原理を導き出した。証明されたのは 魂によってのみ「見られる」イデア的な三角形についてである。おはじきを数 えることは数論の初等教育の助けとして役立つように紙の上に描かれた三角形 の角を測ることは幾何学の初等教育の助けにはなるが，遅かれ早かれそれらの 助けなしにやっていかねばならない。
われわれが目で幾何学の三角形を見ることができないということにはおそらく 納得が行かないだろう。その際には，われわれがユークリッド幾何学で三角形 を作るのに使う出発点の定義と公理の特異な性質を考えてみよう。三角形は定 義によると三本の交わる直線からなる。しかし直線とは何か。定義によると， それは一列につなぎ合わされた点の連続である。しかし点とは何か。ここでわ れわれは基底的な定義に逢着する。ユークリッド幾何学は点をいかなる方向に も絶対的に広がりを持たないものと定義している。それは横幅も縦幅も深さも 持たない。
そのようなものをいままで目で見たことがあるだろうか。それは原理的に不可 能である。何かを見ることができるのはそれがどんなにわずかであってもそれ に加えてある広がり，それは最も強力な電子顕微鏡でしか見られないものであっ ても，広がりを持ったものだけである。またユークリッドの線の完全な定義と はどんなものか。長さは持つが幅も深さも持たない結ばれた点の集合である。 そのようなものを今までに見たことがあるだろうか。再びそれは原理的に不可 能である。目で見る線がどんなに細かろうと，それはつねにそれに加えて何ほ どかの幅つまり太さを持っている。それでは，見ることのできない要素から作 られている，ユークリッド幾何学で定義された三角形をどうして見ることがで きようか。このような幾何学の対象とは奇妙なものである。
同じ性質は立体（三次元の）幾何学，天文学，音階学の対象にも成り立つ。た とえば，天文学は天体の空間を通じた運動を研究する。先ず目で天体の軌道を 観察する。しかしそれらの軌道の性質の研究はイデア的なものである。他のイ デア的学問と同様，それは魂でしか見ることのできない対象を研究する。
修行中の哲学者としてはこれらの学問を研究すべきだとプラトンが言う理由は 何か。われわれは教育が完成したときにはプラトンの理想国の監督者となるこ とになっているから，数や幾何の知識が国家の実践的な事柄を運営してゆくの に有益だと考えるかもしれない。数論や幾何学の原理は目で見ることのできる ものを調べることによっては証明できないけれども，目で見るものを扱う際に 有益に応用できる。たとえば，火矢の軌道や砦の建設で使われるある種の幾何 学的な形の強度を決定できることは他の都市国家を攻撃するよう補助者に教え ねばならないときに役立つだろう。
イデア的な学問の研究はそのような利益を持っているかも知れないが，それは 厳密に言って真の目的に対して二次的なものである（525b-527c;528e-530c）。 そのような学問の第一の目的は目に見える世界を超えた領域がある という事実，確実で絶対的な知識を持てるのはその世界についてだけであると いう事実へとわれわれの注意を促すことである。この事実を学ぶことはわれわ れが頭を向けて見ているものはおそらく本当は愚かで不合理なものだというこ とを理解し始めることだとプラトンは信じているだろう。
哲学者の教育課程の諸段階が線分に沿って並べられた存在と知識の種類に対応
していること，プラトンは知識の確実性の感覚が増して行くことをわれわれの
知る対象の実在性が増して行くことに置き換えているということに注意したま
え。われわれがイメージを持つのは想像力によるが，イメージは哀れなほど劣っ
た種類の存在であるからプラトンは想像力を哲学者の教育には全く無関係なも
のとみなす。人指し指といった普通の対象の調査のような哲学的教育を始動さ
せる種類の探求とは線分の比喩における信念に対応する。数論や幾何学の研究
は思考に対応し，目に見えるものよりは知られるものの領域での作業を始める
ことを可能にする。